Las propiedades del valor absoluto.

Valor absoluto de un número real a, se escribe a, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
5 = 5 -5 = 5 0 = 0
x = 2 x = −2 x = 2
x< 2 − 2 < x < 2 x (−2, 2 )
x> 2 x<>2 (−∞ , 2 ) (2, +∞)
x −2 < 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Propiedades del valor absoluto
1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
a = −a
5 = −5 = 5
2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
a · b = a ·b
5 · (−2) = 5 · (−2) − 10 = 5 · 2 10 = 10
3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.
a + b ≤ a + b
5 + (−2) ≤ 5 + (−2) 3 = 5 + 2 3 ≤ 7
Distancia
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:
d(a, b) = b − a
La distancia entre −5 y 4 es:
d(−5, 4) = 4 − (−5) = 4 + 5 = 9
Propiedades fundamentales
1. a ≥ 0
No negatividad
2. a = 0 ←→ a = 0
Definición positiva
3. ab = a b
Propiedad multiplicativa
4. a+b ≤ a + b
Propiedad aditiva
Otras propiedades
1. -a = a
Simetría
2. a-b = 0 ←→ a = b
Identidad de indiscernibles (equivalente a la definición positiva)
3. a-b ≤ a-c + c-b
Desigualdad triangular (equivalente a la propiedad aditiva)
4. a-b ≥ a - b
(equivalente a la propiedad aditiva)
5. a/b = a / b (si b ≠ 0)
Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)